Seja E(x, y, z) = q / (x^2 + y^2 + z^2) * ((x * i + y * j + z * k) / raiz(x^2 + y^2 + z^2)) o campo elétrico criado por uma carga q localizada na origem. Use a definição de fluxo para mostrar que o fluxo de E através da superfície esférica de raio r e centrada na origem, com normal eta apontando para fora da esfera é 4 pi q.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um campo elétrico gerado por uma carga na origem. A gente vai usar o conceito de fluxo elétrico, que é uma medida de quantas linhas de campo passam através de uma superfície. O objetivo é mostrar que o fluxo de através de uma esfera de raio centrada na origem é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico usando a integração sobre a superfície e aplicar a simetria do problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de fluxo elétrico. O fluxo de um campo através de uma superfície é dado por:
onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, vamos analisar a superfície esférica de raio . Como a esfera é simétrica e a carga está no centro, o vetor normal em qualquer ponto da esfera aponta diretamente para fora e é paralelo ao vetor .

Passo 4

Substituindo o campo elétrico na expressão do fluxo, temos:
Como na esfera , podemos simplificar a expressão.

Passo 5

Na esfera, o campo elétrico fica:
E o vetor normal .

Passo 6

Calculando o produto escalar :

Passo 7

Agora, o fluxo fica:
A integral é simplesmente a área da superfície da esfera, que é .

Passo 8

Substituindo a área na expressão do fluxo:

Resposta

O fluxo de através da superfície esférica é .

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