Seja
o campo elétrico criado por uma carga
localizada na origem. Use a definição de fluxo para mostrar que o fluxo de
através da superfície esférica de raio
e centrada na origem, com normal
apontando para fora da esfera é
.
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é um campo elétrico
gerado por uma carga
na origem. A gente vai usar o conceito de fluxo elétrico, que é uma medida de quantas linhas de campo passam através de uma superfície. O objetivo é mostrar que o fluxo de
através de uma esfera de raio
centrada na origem é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o fluxo elétrico usando a integração sobre a superfície e aplicar a simetria do problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de fluxo elétrico. O fluxo
de um campo
através de uma superfície
é dado por:
onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, vamos analisar a superfície esférica de raio
. Como a esfera é simétrica e a carga está no centro, o vetor normal
em qualquer ponto da esfera aponta diretamente para fora e é paralelo ao vetor
.
Passo 4
Substituindo o campo elétrico
na expressão do fluxo, temos:
Como na esfera
, podemos simplificar a expressão.
Passo 5
Na esfera, o campo elétrico fica:
E o vetor normal
.
Passo 6
Calculando o produto escalar
:
Passo 7
Agora, o fluxo fica:
A integral
é simplesmente a área da superfície da esfera, que é
.
Passo 8
Substituindo a área na expressão do fluxo:
Resposta
O fluxo de
através da superfície esférica é
.