Calcule, usando mudança de coordenadas:
b) integral triplaD z d x d y d z onde D=(x, y, z) in R^3 ; 0 <= z, 1 <= x^2+y^2+z^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral triplaD z,dx,dy,dz onde D=(x,y,z):z>=0,;1<= x^2+y^2+z^2<=4. O conteúdo principal é integração em coordenadas esféricas e precisaremos usar o jacobiano e determinar limites para rho,phi,theta.

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas esféricas definidas por x=rhosinphicostheta,;y=rhosinphisintheta,;z=rhocosphi. Na região D temos 1<=rho<=2, como z>=0 implica 0<=phi<=pi2, e 0<=theta<=2pi.

Passo 3

Expressamos o integrando e o jacobiano: z=rhocosphi e |det J|=rho^2sinphi. Assim, z,dV=rhocosphicdotrho^2sinphi,drho,dphi,dtheta=rho^3cosphisinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 4

Montamos a integral iterada em bloco:
[\int_{0}{2\pi}\int_{0}{\pi/2}\int_{1}^{2} \rho^3\cos\phi\sin\phi,d\rho,d\phi,d\theta ]

Passo 5

Agora separamos e calculamos cada parte: integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2cosphisinphi,dphi=tfrac12, e integral1^2rho^3,drho=tfracrho^44|1^2=tfrac154. Multiplicando: 2pitimestfrac12timestfrac154=tfrac15pi4.

Resposta

(\displaystyle \tfrac{15\pi}{4})

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