Seja
. Determine os intervalos de convergência para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma série infinita:
. A gente precisa descobrir em quais intervalos essa série, e suas derivadas
e
, convergem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, que ajudam a determinar para quais valores de
a série “se comporta bem” e dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série original
. Observamos que cada termo da série é
. Podemos fatorar o
fora da soma:
A série
é uma série p, onde
. Sabemos que séries p convergem se
. Então, essa série converge e soma um valor finito conhecido como
. Portanto:
Essa expressão é válida para qualquer valor de
, já que não há restrições sobre ele. Assim, o intervalo de convergência para
é todos os números reais.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
. A derivada de
em relação a
é simplesmente:
Essa é uma constante, o que significa que não depende de
. Portanto, a série derivada também converge para todos os valores de
.
Passo 4
Vamos derivar novamente para encontrar
. A derivada de uma constante é zero:
Assim,
também converge para todos os valores de
, já que é sempre zero.
Resposta
Os intervalos de convergência são todos os números reais para
,
e
.