Seja f(x)=sumn=1 xn^2. Determine os intervalos de convergência para f, f^prime e f^prime prime.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função definida por uma série infinita: . A gente precisa descobrir em quais intervalos essa série, e suas derivadas e , convergem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, que ajudam a determinar para quais valores de a série “se comporta bem” e dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série original f(x) = x sumn=1^infty 1n^2 . Observamos que cada termo da série é f(x) = x cdot pi^26 . Podemos fatorar o fora da soma:
A série é uma série p, onde . Sabemos que séries p convergem se . Então, essa série converge e soma um valor finito conhecido como . Portanto:
Essa expressão é válida para qualquer valor de , já que não há restrições sobre ele. Assim, o intervalo de convergência para é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos derivar f'(x) = pi^26 para encontrar . A derivada de em relação a é simplesmente:
Essa é uma constante, o que significa que não depende de . Portanto, a série derivada também converge para todos os valores de .

Passo 4

Vamos derivar novamente para encontrar f''(x) = 0 . A derivada de uma constante é zero:
Assim, também converge para todos os valores de , já que é sempre zero.

Resposta

Os intervalos de convergência são todos os números reais para , e .

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