Calcule as integrais iteradas.
integral1^3 / 2 integraly^3-y y d x d y

Passo 1

E aí! Vamos resolver essa integral iterada: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais duplas. Para resolver isso, vamos seguir os passos de integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte interna da integral, que é integraly^3-y y , dx = y cdot [(3 - y) - y] = y cdot (3 - 2y) . Nessa parte, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral externa:
integral1^32 y (3 - 2y) , dy
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
y (3 - 2y) = 3y - 2y^2

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes:
integral1^32 3y , dy - integral1^32 2y^2 , dy
Calculamos cada uma das integrais:
integral 3y , dy = 32 y^2
integral 2y^2 , dy = 23 y^3

Passo 5

Agora aplicamos os limites de integração para cada parte:
[ 32 y^2 ]1^32 - [ 23 y^3 ]1^32
Calculando cada parte:
Para 32 ( ( 32 )^2 - 1^2 ) = 32 ( 94 - 1 ) = 32 cdot 54 = 158 :
23 ( ( 32 )^3 - 1^3 ) = 23 ( 278 - 1 ) = 23 cdot 198 = 3824 = 1912
Para :

Passo 6

Subtraímos os dois resultados para encontrar o valor final:
158 - 1912 = 4524 - 3824 = 724

Resposta

A integral iterada é igual a .

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