Calcule as integrais iteradas: integral1^2 integral1^x x^2y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral iterada: .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente com integrais duplas. Isso significa que vamos integrar uma função em duas etapas: primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos entender como manusear integrais iteradas e aplicar as regras de integração adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna: .
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A função a ser integrada é .

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a integração: integral y^-2 , dy = y^-1-1 + C = -1y + C .
Agora, aplicamos a regra da potência para integrar em relação a :

Passo 4

Aplicando os limites de integração de integral1^x x^2y^2 , dy = x^2 [ -1y ]1^x = x^2 ( -1x + 11 ) = x^2 ( 1 - 1x ) a x^2 ( 1 - 1x ) = x^2 - x :
Simplificando:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral1^2 (x^2 - x) , dx
Vamos integrar termo a termo:
integral x^2 , dx - integral x , dx

Passo 6

Integrando cada termo:
integral x^2 , dx = x^33 + C
integral x , dx = x^22 + C
Portanto:
x^33 - x^22 gr|1^2

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 2^33 - 2^22 = 83 - 42 = 83 - 2 = 83 - 63 = 23 a 1^33 - 1^22 = 13 - 12 = 26 - 36 = -16 :
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
( 23 ) - ( -16 ) = 23 + 16 = 46 + 16 = 56

Resposta

O valor da integral iterada é .

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