Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em: integral0^1 integral0^y f(x, y) d x d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração e inverter a ordem das integrais iteradas na expressão integral0^1 integral0^y f(x, y) , dx , dy. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração dupla. Pra resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano xy e depois trocar as variáveis de integração de x para y e vice-versa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral interna é de x = 0 até x = y, e a integral externa é de y = 0 até y = 1. Isso significa que para cada valor de y entre 0 e 1, x varia de 0 até o próprio y.

Passo 3

Vamos desenhar isso no plano xy. Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é o x e o vertical é o y. A linha x = y é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Então, a região de integração está abaixo dessa linha, entre x = 0 e y = 1.

Passo 4

Agora, para inverter a ordem das integrais, precisamos redefinir os limites de integração para que y seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, y vai de x (na linha y = x) até 1. E x varia de 0 até 1, já que x = y vai até y = 1.

Passo 5

Com os novos limites, a ordem invertida das integrais fica integral0^1 integralx^1 f(x, y) , dy , dx.

Resposta

A ordem invertida das integrais iteradas é integral0^1 integralx^1 f(x, y) , dy , dx.

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