Esboce a região de integração e inverta a ordem das integrais iteradas em:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar a região de integração e inverter a ordem das integrais iteradas na expressão
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integração dupla. Pra resolver isso, vamos precisar entender como visualizar a região de integração no plano xy e depois trocar as variáveis de integração de x para y e vice-versa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que estamos integrando. A integral interna é de
até
, e a integral externa é de
até
. Isso significa que para cada valor de y entre 0 e 1, x varia de 0 até o próprio y.
Passo 3
Vamos desenhar isso no plano xy. Imagine um gráfico onde o eixo horizontal é o x e o vertical é o y. A linha
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45 graus. Então, a região de integração está abaixo dessa linha, entre
e
.
Passo 4
Agora, para inverter a ordem das integrais, precisamos redefinir os limites de integração para que y seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, y vai de x (na linha
) até 1. E x varia de 0 até 1, já que
vai até y = 1.
Passo 5
Com os novos limites, a ordem invertida das integrais fica
.
Resposta
A ordem invertida das integrais iteradas é
.