Calcule as integrais iteradas: integral1^2 integral1^2 y e^x y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral iterada integral1^2 integral1^2 y e^x y dx dy. Isso envolve trabalhar com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, integral1^2 y e^x y dx. Aqui, y é tratada como uma constante porque estamos integrando em relação a x.
Para facilitar, vamos fazer uma substituição simples:
  • Seja u = x y, então du = y dx.
  • Isso transforma nossa integral em integral e^u du, que é fácil de resolver.
Integrando, temos:
integral y e^x y dx = e^x y + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 2:
e^2 y - e^y

Passo 3

Agora, vamos integrar o resultado em relação a y:
integral1^2 (e^2 y - e^y) dy
Vamos separar as integrais:
integral1^2 e^2 y dy - integral1^2 e^y dy
Integrando cada termo:
  • Para integral e^2 y dy, fazemos uma substituição onde u = 2y, então a integral fica 12 e^2 y.
  • Para integral e^y dy, a integral é simplesmente e^y.
Aplicando os limites de 1 a 2:
[12 e^2 y]1^2 - [e^y]1^2 = (12 e^4 - 12 e^2) - (e^2 - e)
Simplificando:
12 e^4 - 32 e^2 + e

Resposta

A integral iterada integral1^2 integral1^2 y e^x y dx dy é igual a 12 e^4 - 32 e^2 + e, ou aproximadamente 18,93.

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