Calcule as integrais iteradas e interprete os resultados.
integral0^2 integral0^pi / 2 x sen y d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais iteradas da função
f(x,y)=xsin y
no retângulo
R = (x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<= tfracpi2
O conteúdo envolvido é o Teorema de Fubini, que garante que podemos trocar a ordem de integração em regiões retangulares, e a técnica de separação de variáveis quando a função é produto de termos que dependem só de x e só de y.

Passo 2

Calcular a ordem dada
integral0^2l(integral0^pi/2xsin y,dyr)dx
Como x é constante na integral interna,
integral0^pi/2xsin y,dy = xintegral0^pi/2sin y,dy = xl[-cos yr]0^pi/2 = x,(1-0) = x
Logo resta
integral0^2x,dx = l[tfracx^22r]0^2 = tfrac42 =2

Passo 3

Verificando a ordem trocada
integral0^pi/2l(integral0^2xsin y,dxr)dy
Agora sin y é constante na integral interna,
integral0^2xsin y,dx = sin yintegral0^2x,dx = sin ycdot2 =2sin y
Em seguida
integral0^pi/22sin y,dy =2l[-cos yr]0^pi/2 =2,(1-0) =2,
confirmando o mesmo resultado por Fubini.

Passo 4

A interpretação geométrica é que
integral duplaRxsin y,dA
é o volume sob a superfície z=xsin y acima do retângulo R. Em qualquer ordem de integração, esse volume vale 2.

Resposta

integral0^2!integral0^pi/2xsin y,dy,dx =2

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