Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y=raizx e pelas retas y=2 e x=0 em torno:
do eixo x. Determine a área da superfície gerada pela rotação de cada curva em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo x a região limitada por
  • a curva y=raizx,
  • a reta horizontal y=2,
  • a reta vertical x=0.
Além disso, pede a área da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas y=raizx e y=2 em torno do eixo x.
Para o volume usaremos o método dos discos (ou anéis), e para a área de superfície a fórmula
A = 2pi integral y,raiz1+l(y'r)^2,dx

Passo 2

Primeiro achamos o intervalo de integração encontrando a interseção entre y=raizx e y=2.
raizx=2 Longrightarrow x=4
Logo varremos x de 0 até 4.

Passo 3

Volume pelo método dos anéis: a cada xin[0,4] o raio externo é R(x)=2 e o raio interno é r(x)=raizx.
V = pi integral0^4 l[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral0^4 l(2^2 - (raizx)^2r),dx = pi integral0^4 (4 - x),dx

Passo 4

Calculando o integral:
integral0^4(4 - x),dx = l[4x - tfracx^22r]0^4 = (16 - 8) - 0 = 8
Portanto
V = pi cdot 8 = 8pi

Passo 5

Área da superfície gerada por y=raizx. Temos
y=raizx, y'=12raizx,
logo
raiz1+(y')^2 = raiz1 + 14x = raiz4x+12raizx
A fórmula dá
A1 = 2pi integral0^4 y,raiz1+(y')^2,dx = 2pi integral0^4 raizx;raiz4x+12raizx,dx = pi integral0^4 raiz4x+1,dx
Fazendo u=4x+1, du=4,dx:
integral raiz4x+1,dx = integral raizu4,du = 14cdot 23u^3/2 = 16(4x+1)^3/2
Avaliado de 0 a 4:
A1 = picdot 16l[(17)^3/2 - (1)^3/2r] = pi6l(17^3/2 - 1r)

Passo 6

Área da superfície gerada por y=2 de x=0 a x=4. Aqui y'=0, então raiz1+(y')^2=1 e
A2 = 2pi integral0^4 2cdot 1,dx = 4pi integral0^4dx = 4pi cdot 4 = 16pi

Resposta

Volume: 8pi.
Área de superfície gerada por y=raizx: pi6l(17^3/2-1r).
Área de superfície gerada por y=2: 16pi.

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