Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por
e pelas retas
e
em torno:
do eixo
. Determine a área da superfície gerada pela rotação de cada curva em torno do eixo
.
do eixo
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo
a região limitada por
- a curva
, - a reta horizontal
, - a reta vertical
.
Além disso, pede a área da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas
e
em torno do eixo
.
Para o volume usaremos o método dos discos (ou anéis), e para a área de superfície a fórmula
Para o volume usaremos o método dos discos (ou anéis), e para a área de superfície a fórmula
Passo 2
Primeiro achamos o intervalo de integração encontrando a interseção entre
e
.
Logo varremos
de
até
.
Passo 3
Volume pelo método dos anéis: a cada
o raio externo é
e o raio interno é
.
Passo 4
Calculando o integral:
Portanto
Passo 5
Área da superfície gerada por
. Temos
logo
A fórmula dá
Fazendo
,
:
Avaliado de
a
:
Passo 6
Área da superfície gerada por
de
a
. Aqui
, então
e
Resposta
Volume:
.
Área de superfície gerada por :
.
Área de superfície gerada por :
.
Área de superfície gerada por
Área de superfície gerada por