Diga se converge, absolutamente ou condicionalmente, a série
sumn=1^infty (-1)^n(arctg(n))^n n^53^n

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da série
sumn=1^infty (-1)^n,(arctan(n))^n,n^53^n
Como a série é alternada, vamos primeiro testar a convergência absoluta usando o Teste da Raiz, que é adequado para termos na forma (cdots)^n.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Raiz à série de termos positivos |an|=(arctan(n))^n,n^53^n. Calculamos
rho ;=;limntoinftyraiz[n]|an| ;=;limntoinftyraiz[n](arctan(n))^n,n^53^n ;=;limntoinftyarctan(n)3,n^5/n
Como arctan(n)topi2 e n^5/nto1, vem
rho ;=;pi/23;=;pi6;<;1
Portanto a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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