Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d yd x=-(1+y)(1-x), y(1)=1,,

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydx=-(1+y)(1-x), y(1)=1
Isso é uma EDO de primeira ordem separável: podemos separar as variáveis y e x para integrar.

Passo 2

Separe as variáveis dividindo por 1+y e multiplicando por dx:
11+y,dy = -(1-x),dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral 11+y,dy = integral -(1-x),dx
No lado esquerdo temos
integral 11+y,dy = lnl|1+yr|,
e no direito
integral -(1-x),dx = -integral 1,dx + integral x,dx = -x + x^22 + C
Logo
lnl|1+yr| = -x + x^22 + C

Passo 4

Aplique exponencial em ambos os lados:
l|1+yr| = e^C ,e^-x + x^2/2
Como buscamos solução contínua com 1+y>0, definimos K=e^C>0 e obtemos
1+y = K,e^-x + x^2/2

Passo 5

Use a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1,
2 = K ,e^-1 + 1/2 = K,e^-1/2 Longrightarrow K = 2,e^1/2
Então
1+y = 2,e^1/2,e^-x + x^2/2 = 2,e^-x + x^22 + 12
Perceba que
-x + x^22 + 12 = x^2 -2x +12 = (x-1)^22
Portanto
y(x) = 2,e^(x-1)^22 - 1

Resposta

y(x) = 2,e^(x-1)^22 - 1

Exercícios relacionados