Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo. ,
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
Isso é uma EDO de primeira ordem separável: podemos separar as variáveis e para integrar.
Passo 2
Separe as variáveis dividindo por e multiplicando por :
Passo 3
Integre ambos os lados:
No lado esquerdo temos
e no direito
integral -(1-x),dx = -integral 1,dx + integral x,dx = -x + x^22 + C
Logo
lnl|1+yr| = -x + x^22 + C
Passo 4
Aplique exponencial em ambos os lados:
l|1+yr| = e^C ,e^-x + x^2/2
Como buscamos solução contínua com 1+y>0, definimos K=e^C>0 e obtemos
1+y = K,e^-x + x^2/2
Passo 5
Use a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1 e y=1,
2 = K ,e^-1 + 1/2 = K,e^-1/2 Longrightarrow K = 2,e^1/2