Questão 6) Descreva e esboce quem são as superfícies de nível da função
g(x, y, z)=raiz16-4 x^2-4 y^2-4 z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descrever e desenhar as superfícies de nível da função g(x, y, z) = raiz16 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 . Isso está relacionado ao estudo de superfícies de nível em funções de três variáveis, que são as “fatias” da função para diferentes valores constantes. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como relacionar essa função a formas geométricas conhecidas, como esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Para uma função de três variáveis g(x, y, z) , uma superfície de nível é o conjunto de pontos (x, y, z) que satisfazem g(x, y, z) = k , onde k é uma constante. Essas superfícies nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função g(x, y, z) = raiz16 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 . Queremos encontrar as superfícies de nível, ou seja, resolveremos:
raiz16 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 = k
Onde k é uma constante.

Passo 4

Primeiro, eliminamos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
16 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 = k^2
Agora, vamos isolar os termos com x, y, z :
4x^2 + 4y^2 + 4z^2 = 16 - k^2

Passo 5

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
x^2 + y^2 + z^2 = 4 - k^24
Essa equação representa uma esfera com raio raiz4 - k^24 .

Passo 6

Para que a equação faça sentido, o lado direito precisa ser positivo:
4 - k^24 > 0 Rightarrow k^2 < 16 Rightarrow |k| < 4
Então, as superfícies de nível são esferas de raio variável, dependendo do valor de k , e isso é válido para |k| < 4 .

Resposta

As superfícies de nível da função g(x, y, z) = raiz16 - 4x^2 - 4y^2 - 4z^2 são esferas centradas na origem com raio raiz4 - k^24 , válidas para valores de k tais que |k| < 4 . O esboço dessas superfícies seriam esferas concêntricas com a origem, reduzindo de tamanho à medida que |k| se aproxima de 4.

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