Questão 6) Descreva e esboce quem são as superfícies de nível da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para descrever e desenhar as superfícies de nível da função
. Isso está relacionado ao estudo de superfícies de nível em funções de três variáveis, que são as “fatias” da função para diferentes valores constantes. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como relacionar essa função a formas geométricas conhecidas, como esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Para uma função de três variáveis
, uma superfície de nível é o conjunto de pontos
que satisfazem
, onde
é uma constante. Essas superfícies nos ajudam a visualizar como a função se comporta no espaço tridimensional.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as superfícies de nível, ou seja, resolveremos:
Onde
é uma constante.
Passo 4
Primeiro, eliminamos a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Agora, vamos isolar os termos com
:
Passo 5
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 4:
Essa equação representa uma esfera com raio
.
Passo 6
Para que a equação faça sentido, o lado direito precisa ser positivo:
Então, as superfícies de nível são esferas de raio variável, dependendo do valor de
, e isso é válido para
.
Resposta
As superfícies de nível da função
são esferas centradas na origem com raio
, válidas para valores de
tais que
. O esboço dessas superfícies seriam esferas concêntricas com a origem, reduzindo de tamanho à medida que
se aproxima de 4.