Calcule as integrais iteradas e interprete os resultados.
integral1^3 integral0^1(1+4 x y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral1^3!integral0^1(1+4xy),dx,dy.
Vamos usar integração iterada (aplicando linearidade e antiderivadas) e depois interpretar o resultado como volume sob a superfície z=1+4xy sobre o retângulo [0,1]times[1,3].

Passo 2

Para cada y fixo, calculamos a integral interna em x:
integral0^1(1+4xy),dx =integral0^11,dx +4yintegral0^1x,dx =1 +4ycdot12 =1+2y

Passo 3

Agora integramos em y:
integral1^3(1+2y),dy =integral1^31,dy +2integral1^3y,dy =(3-1)+2cdot3^2-1^22 =2+(9-1) =10

Passo 4

Geometricamente, o resultado ;10; é o volume abaixo da superfície z=1+4xy sobre o domínio (x,y)mid 0<= x<=1,;1<= y<=3.

Resposta

10

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