Determine o volume dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo x, das regiões limitadas pelas retas e curvas indicadas.
y=-x^2+x+1, y=1

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, da região limitada pelas curvas
y = -x^2 + x + 1
e
y = 1
O conteúdo principal é o método dos discos (ou arrolamentos), que nos dá
V = pi integrala^b l[l(R(x)r)^2 - l(r(x)r)^2r],dx,
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno, e [a,b] o intervalo de rotação em x.

Passo 2

Para achar os limites de integração, resolvemos a interseção
-x^2 + x + 1 = 1
que simplifica para
-x^2 + x = 0 Longrightarrow x,(1 - x) = 0 Longrightarrow x = 0 ou x = 1
Logo, vamos integrar de x=0 a x=1.

Passo 3

No intervalo [0,1] a parábola y = -x^2 + x + 1 fica acima de y=1, então
R(x) = -x^2 + x + 1, r(x) = 1
O volume é
V = pi integral0^1 l[l(-x^2 + x + 1r)^2 - 1^2r],dx

Passo 4

Expandindo o integrando:
l(-x^2 + x + 1r)^2 = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x + 1,
então
l(-x^2 + x + 1r)^2 - 1 = x^4 - 2x^3 - x^2 + 2x
Calculando a integral,
integral0^1 l(x^4 - 2x^3 - x^2 + 2xr),dx = [x^55 - 2x^44 - x^33 + 2x^22]0^1 = 15 - 12 - 13 + 1 = 1130

Passo 5

Multiplicando por pi, obtemos
V = pi cdot 1130 = 11pi30

Resposta

11pi30

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