Questão 5) Verifique se o limite abaixo existe ou não. Justifique.
lim (x, y) (0,0) 2 y^2 x^34 x^3-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função 2 y^2 x^34 x^3-2 y^2 existe quando (x, y) se aproxima de (0,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função:
2 y^2 x^34 x^3-2 y^2 = 2 y^2 x^32(2 x^3 - y^2) = y^2 x^32 x^3 - y^2
Isso facilita um pouco, mas ainda precisamos analisar o limite.

Passo 3

Vamos tentar aproximar (0,0) ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo valor para o limite. Se obtivermos valores diferentes, o limite não existe.
Caminho 1: y = 0
Substituindo y = 0 na função:
0^2 x^32 x^3 - 0^2 = 02 x^3 = 0
Então, ao longo do caminho y = 0 , o limite é 0.

Passo 4

Caminho 2: x = 0
Substituindo x = 0 na função:
y^2 cdot 0^32 cdot 0^3 - y^2 = 0-y^2 = 0
Então, ao longo do caminho x = 0 , o limite também é 0.

Passo 5

Caminho 3: y = k x^32 , onde k é uma constante
Substituindo y = k x^32 na função:
(k x^32)^2 x^32 x^3 - (k x^32)^2 = k^2 x^3 cdot x^32 x^3 - k^2 x^3 = k^2 x^6(2 - k^2) x^3 = k^2 x^32 - k^2
Agora, ao levar x para 0:
limx to 0 k^2 x^32 - k^2 = 0
Então, ao longo desse caminho, o limite também é 0.

Passo 6

Caminho 4: Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite muda. Por exemplo, y = raiz2 x^32
Substituindo y = raiz2 x^32 na função:
(raiz2 x^32)^2 x^32 x^3 - (raiz2 x^32)^2 = 2 x^3 cdot x^32 x^3 - 2 x^3 = 2 x^60
Aqui, o denominador se torna zero, o que significa que a função não está definida ao longo desse caminho específico. Isso sugere que o limite pode não existir.

Passo 7

Como encontramos um caminho onde a função não está definida (o denominador é zero), isso indica que a função tende a infinito ou não tem um limite finito ao se aproximar de (0,0) por esse caminho. Já que diferentes caminhos fornecem comportamentos diferentes (alguns dão limite zero e outros não são definidos), podemos concluir que o limite não existe.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 2 y^2 x^34 x^3-2 y^2 não existe, pois a função apresenta comportamentos diferentes ao se aproximar de (0,0) por caminhos distintos.

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