Questão 5) Verifique se o limite abaixo existe ou não. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa verificar se o limite da função
existe quando
se aproxima de
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções de duas variáveis e analisar o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função:
Isso facilita um pouco, mas ainda precisamos analisar o limite.
Passo 3
Vamos tentar aproximar
ao longo de diferentes caminhos e ver se obtemos o mesmo valor para o limite. Se obtivermos valores diferentes, o limite não existe.
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite é 0.
Passo 4
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Então, ao longo do caminho
, o limite também é 0.
Passo 5
Caminho 3:
, onde
é uma constante
Substituindo
na função:
Agora, ao levar
para 0:
Então, ao longo desse caminho, o limite também é 0.
Passo 6
Caminho 4: Vamos tentar um caminho diferente para ver se o limite muda. Por exemplo,
Substituindo
na função:
Aqui, o denominador se torna zero, o que significa que a função não está definida ao longo desse caminho específico. Isso sugere que o limite pode não existir.
Passo 7
Como encontramos um caminho onde a função não está definida (o denominador é zero), isso indica que a função tende a infinito ou não tem um limite finito ao se aproximar de
por esse caminho. Já que diferentes caminhos fornecem comportamentos diferentes (alguns dão limite zero e outros não são definidos), podemos concluir que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe, pois a função apresenta comportamentos diferentes ao se aproximar de
por caminhos distintos.