Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d xd t=2 t3 x, x(0)=1,,

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial para uma EDO de primeira ordem separável:
dxdt=2t3x, com x(0)=1.
Vamos usar o método de separação de variáveis para encontrar x(t).

Passo 2

Separe as variáveis x e t de cada lado da equação. Multiplicando ambos os lados por dt e por x, obtemos
x,dx = 23,t,dt

Passo 3

Integre os dois lados:
integral x,dx = integral 23,t,dt
x^22 = 23,t^22 + C Longrightarrow x^22 = t^23 + C

Passo 4

Use a condição inicial x(0)=1 para achar C:
1^22 = 0^23 + C Longrightarrow C = 12
Substituindo de volta:
x^22 = t^23 + 12 Longrightarrow x^2 = 2t^23 + 1

Passo 5

Resolva para x e escolha o sinal conforme x(0)=1>0:
x(t) = pmraiz2t^23 + 1
Como x(0)=1, tomamos o ramo positivo.

Resposta

x(t) = raiz1 + 23,t^2

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