Calcule as integrais iteradas e interprete os resultados.
integral1^4 integral1^2(xy+yx) d y d x

Passo 1

Vamos resumir: a gente precisa calcular a integral iterada
integral1^4 integral1^2l(xy+yxr),dy,dx
Isso é um tópico de Cálculo II sobre integrais duplas e a gente vai usar:
  • linearidade da integral (dividir a soma em duas integrais),
  • integral de y^-1 (que vira ln y),
  • integral de y (que vira y^2/2),
  • depois, ao integrar em x, usar as fórmulas de integral x,dx e integral x^-1dx.

Passo 2

Primeiro abrimos a integral interna em y, tratando x como constante:
integral1^2l(xy+yxr),dy = xintegral1^21y,dy ;+;1xintegral1^2y,dy
Agora cada parte:
  • xintegral1^21y,dy = xl[ln yr]1^2 = x(ln2-ln1)=xln2
  • 1xintegral1^2y,dy = 1xl[y^22r]1^2 = 1xl(42-12r)=32x
    Juntando dá
integral1^2l(xy+yxr),dy = xln2 + 32x

Passo 3

Agora integramos esse resultado de x=1 a x=4:
integral1^4l(xln2 + tfrac32xr),dx = ln2integral1^4x,dx ;+;32integral1^41x,dx
Calcule cada parte:
  • integral1^4x,dx = l[x^22r]1^4 = 16-12 = 152
  • integral1^41x,dx = [ln x]1^4 = ln4 - ln1 = 2ln2
    Então
ln2cdot152 ;+; 32cdot2ln2 = 152ln2 + 3ln2 = l(152+ 62r)ln2 = 212ln2

Passo 4

Interpretação: como f(x,y)=xy+yx é contínua e positiva no retângulo [1,4]times[1,2], essa integral representa o volume abaixo da superfície z=f(x,y) sobre essa região.

Resposta

boxed212ln(2)

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