Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d xd t=A raiz1-epsilon x^2, x(0)=0,

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
dxdt=Araiz1-epsilon x^2, x(0)=0,
que é uma EDO de primeira ordem e separável. Vamos separar as variáveis, integrar e aplicar a condição inicial.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
dxraiz1-epsilon x^2=A,dt
Agora integramos ambos os lados:
  • Se epsilon=1, integraldxraiz1-x^2=arcsin(x)=At+C
  • Se epsilon=-1, integraldxraiz1+ x^2=arcsinh(x)=At+C

Passo 3

Usamos x(0)=0 para achar C:
  • Para epsilon=1: arcsin(0)=0=C, logo arcsin(x)=At e x(t)=sin(At)
  • Para epsilon=-1: arcsinh(0)=0=C, logo arcsinh(x)=At e x(t)=sinh(At)

Resposta

Para epsilon=1: x(t)=sin(At)
Para epsilon=-1: x(t)=sinh(At)

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