Nesta questão o objetivo é resolver o problema de valor inicial das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem do tipo separável listadas abaixo.
d yd t=3 sen(t)e^y, y(0)=0,

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem, separável,
dydt = 3sen(t)e^y,
com condição inicial y(0)=0. Vamos separar variáveis e integrar dos dois lados.

Passo 2

Reescrevendo a equação como produto de funções de y e funções de t, temos
e^y,dydt = 3sen(t)
Agora separamos as variáveis de forma que todos os termos em y fiquem com dy e todos os termos em t fiquem com dt:
e^y,dy = 3sen(t),dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral e^y,dy = integral 3sen(t),dt
A integral do lado esquerdo é
integral e^y,dy = e^y + C1,
e a do lado direito é
integral 3sen(t),dt = -3cos(t) + C2
Podemos agrupar constantes numa só C:
e^y = -3cos(t) + C

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=0 para determinar C. Em t=0 e y=0:
e^0 = 1 = -3cos(0) + C = -3cdot1 + C Longrightarrow C = 4
Logo a solução implícita fica
e^y = 4 - 3cos(t)

Passo 5

Finalmente, isolamos y aplicando o logaritmo natural:
y(t) = lnl(4 - 3cos(t)r)

Resposta

y(t) = lnl(4 - 3cos(t)r)

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