Indique para quais valores de
a série
converge, e para os casos que converge, calcule o valor da soma.
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Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de
a série
converge e, nesses casos, calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e critério de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo da série. Observando
, percebemos que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral
, onde:
-
é o primeiro termo. -
é a razão da série.
No nosso caso, o
é
(pois começa em
) e a razão
é
.
Passo 3
Agora, para uma série geométrica convergir, a razão
deve satisfazer
. Ou seja:
Como
é sempre positivo, podemos simplificar para:
Sabemos que
, então para que
, o expoente
precisa ser negativo:
Portanto, a série converge para todos os valores de
que são menores que
.
Passo 4
Agora que sabemos que a série converge para
, vamos calcular a soma. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
No nosso caso:
Então, substituindo:
Resposta
A série
converge para todos os valores de
tais que
. Nesses casos, a soma da série é: