(1,5) Indique para quais valores de x a série sumn=3^infty x 3^n(x+1) converge, e para os casos que converge, calcule o valor da soma.
1

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para descobrir para quais valores de x a série sumn=3^infty x cdot 3^n(x+1) converge e, nesses casos, calcular a soma dela. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e critério de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo da série. Observando sumn=3^infty x cdot 3^n(x+1), percebemos que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral sumn=0^infty a cdot r^n, onde:
  • a é o primeiro termo.
  • r é a razão da série.
No nosso caso, o a é x cdot 3^3(x+1) (pois começa em n = 3 ) e a razão r é 3^(x+1) .

Passo 3

Agora, para uma série geométrica convergir, a razão r deve satisfazer |r| < 1 . Ou seja:
|3^(x+1)| < 1
Como 3^(x+1) é sempre positivo, podemos simplificar para:
3^(x+1) < 1
Sabemos que 3 > 1 , então para que 3^(x+1) < 1 , o expoente (x + 1) precisa ser negativo:
x + 1 < 0 Rightarrow x < -1
Portanto, a série converge para todos os valores de x que são menores que -1.

Passo 4

Agora que sabemos que a série converge para x < -1 , vamos calcular a soma. A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
S = a1 - r
No nosso caso:
  • a = x cdot 3^3(x+1)
  • r = 3^(x+1)
Então, substituindo:
S = x cdot 3^3(x+1)1 - 3^(x+1)

Resposta

A série sumn=3^infty x cdot 3^n(x+1) converge para todos os valores de x tais que x < -1 . Nesses casos, a soma da série é:
S = x cdot 3^3(x+1)1 - 3^(x+1)

Exercícios relacionados