Determine o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y=raizx e pelas retas y=2 e x=0 em torno:
do eixo y. Determine a área da superfície gerada pela rotação de cada curva em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao rotacionar em torno do eixo y a região R limitada por y=raizx, y=2 e x=0, e também as áreas das superfícies geradas pela rotação das curvas y=raizx (de x=0 a x=4) e y=2 (de x=0 a x=4). Para o volume usaremos o método dos discos (seções perpendiculares ao eixo y). Para as áreas de superfície usaremos a fórmula
A = 2piintegral r,ds
onde r é a distância ao eixo y.

Passo 2

Volume via discos: a seção perpendicular ao eixo y em altura y é um disco de raio
r(y)=xext=y^2,
pois na curva y=raizx temos x=y^2. Logo
V=piintegraly=0^2l(r(y)r)^2,dy =piintegral0^2(y^2)^2,dy =piintegral0^2y^4,dy =pil[y^55r]0^2 =325pi

Passo 3

Área de superfície gerada pela rotação de y=raizx, 0<= x<=4. Temos
dydx=12raizx, ds=raiz1+l(dydxr)^2,dx =raiz1+14x,dx
A distância ao eixo y é r=x, então
A1 =2piintegral0^4x,raiz1+14x,dx =2piintegral0^4xraiz4x+14x,dx =piintegral0^4raizx,raiz4x+1,dx =piintegral0^4raiz4x^2+x,dx
Usando a primitiva para integralraiz4x^2+x,dx obtém-se
integral0^4raiz4x^2+x,dx =l[(8x+1)raiz4x^2+x16 -164lnl(8x+1+4raiz4x^2+xr)r]0^4 =33raiz178 -164lnl(33+8raiz17r)
Logo
A1 =pil(33raiz178 -164ln(33+8raiz17)r)

Passo 4

Área de superfície gerada pela rotação de y=2, de x=0 a x=4. Aqui ds=dx e r=x, então
A2 =2piintegral0^4x,dx =2pil[x^22r]0^4 =16pi

Resposta

V=dfrac325pi
Aparábola (y=raizx) =pil(dfrac33raiz178 -dfrac164lnl(33+8raiz17r)r)á
Ay=2=16pi

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