Calcule as integrais iteradas, invertendo a ordem se for conveniente.
\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} x e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada \r
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1}x\,e^{x y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\r
usando, se for conveniente, a troca da ordem de integração. O conteúdo é Teorema de Fubini e integração elementar (integração em partes ou primitiva de e^{x y}).

Passo 2

Como a região de integração é o retângulo \r \{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2\}, pelo Teorema de Fubini podemos trocar a ordem:\r
\int_{y=0}^{2}\int_{x=0}^{1}x\,e^{x y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{2}x\,e^{x y}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Para cada x fixo, calcule \r \displaystyle\int_{y=0}^{2}x\,e^{x y}\,\mathrm{d}y. \r
Como x é constante em relação a y, uma primitiva de e^{x y} em y é \tfrac{1}{x}e^{x y}. Logo,\r
\int_{y=0}^{2}x\,e^{x y}\,\mathrm{d}y = x\Bigl[\tfrac{1}{x}e^{x y}\Bigr]_{0}^{2} =\bigl[e^{x y}\bigr]_{0}^{2} =e^{2x}-1.

Passo 4

Agora integramos em x:\r
\int_{x=0}^{1}(e^{2x}-1)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}e^{2x}\,\mathrm{d}x -\int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x.\r
A primitiva de e^{2x} é \tfrac{1}{2}e^{2x}, então\r
\int_{0}^{1}e^{2x}\,\mathrm{d}x =\tfrac{1}{2}\bigl[e^{2x}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2}(e^{2}-1), \quad \int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x =1.\r
Subtraindo, obtemos\r
\int_{0}^{1}(e^{2x}-1)\,\mathrm{d}x =\tfrac{1}{2}(e^{2}-1)-1 =\frac{e^{2}-3}{2}.

Resposta

\frac{e^{2}-3}{2}.

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