Calcule as integrais iteradas, invertendo a ordem se for conveniente.
\int_{1}^{2} \int_{-1}^{1} y e^{x y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{y=1}^{2}\int_{x=-1}^{1}y\,e^{x y}\,dx\,dy,
que é um caso de integração iterada simples. Podemos integrar primeiro em x (já que y é visto como constante) e depois em y. Não é necessário inverter a ordem, pois dá para fazer diretamente.

Passo 2

Calcular a integral interna em x:
\int_{x=-1}^{1}y\,e^{x y}\,dx.
Como y é constante, escrevemos
y\int_{-1}^{1}e^{x y}\,dx =\;y\Bigl[\frac{1}{y}e^{x y}\Bigr]_{x=-1}^{x=1} =\;e^{y}-e^{-y}.

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
\int_{1}^{2}\bigl(e^{y}-e^{-y}\bigr)\,dy.
Agora integramos termo a termo:
\int e^{y}dy = e^{y}, \qquad \int -e^{-y}dy = +e^{-y}.
Logo,
\int_{1}^{2}\bigl(e^{y}-e^{-y}\bigr)\,dy =\Bigl[e^{y}+e^{-y}\Bigr]_{1}^{2} =(e^{2}+e^{-2})-(e^{1}+e^{-1}).

Resposta

e^{2}+e^{-2}-e-e^{-1}.

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