Seja D=\{(x, y) \in[0,1] \times[0,1] tal que x \in \mathbb{Q} e y \in \mathbb{Q}\}. Determine a fronteira de D e mostre que não existe a integral \iint_{D} 1 d x d y. Ou seja, não é possível definir área dessa região.
Passo 1
O enunciado define a região
D = \{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]\mid x\in\mathbb{Q}\text{ e }y\in\mathbb{Q}\},
ou seja, o produto \mathbb{Q}\times\mathbb{Q} dentro do quadrado unitário. Pede-se a fronteira de D e mostrar que
\iint_{D}1\,dx\,dy
não está definida (isto é, D não é “area‐mensurável” à moda de Riemann/Jordan). Para isso vamos usar:
definição de interior \mathrm{int}(D), fecho \overline{D} e fronteira \partial D,
critério de integrabilidade de Riemann (ou Jordan) via medida do conjunto fronteira.
Passo 2
Como \mathbb{Q} é denso em \mathbb{R}, para qualquer ponto (x_0,y_0)\in[0,1]\times[0,1] e qualquer bola aberta centrada em (x_0,y_0) haverá pontos racionais em x e y. Logo todo ponto do quadrado é ponto de aderência de D. Assim
\overline{D} = [0,1]\times[0,1].
Por outro lado, toda vizinhança de qualquer ponto (x_0,y_0)\in[0,1]\times[0,1] contém também pontos irracionais, logo não existe bola contida exclusivamente em D. Portanto
\mathrm{int}(D)=\varnothing.
Passo 3
A fronteira de D é dada por
\partial D = \overline{D}\setminus\mathrm{int}(D) = [0,1]\times[0,1]\setminus\varnothing = [0,1]\times[0,1].
Em particular \partial D tem área (medida de Lebesgue ou Jordan) igual a 1, isto é, não é um conjunto de medida zero.
Passo 4
Pelo critério de Riemann/Jordan, o indicador \chi_{D} é integrável se, e somente se, a medida do seu conjunto fronteira for zero. Como \partial D tem medida 1\neq0, a integral de \chi_{D} (que é exatamente \iint_{D}1\,dx\,dy) não existe.
Resposta
A fronteira de D é
\partial D = [0,1]\times[0,1],
e a integral \displaystyle \iint_{D}1\,dx\,dy não existe, pois D não é Riemann‐mensurável.