Exercício 4, III.4, pg 135. Desenhe as regiões de integração e calcule as integrais abaixo. Se necessário, inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{1+y^{3}} d y d x
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{1+y^{3}} d y d x
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral iterada
aplicando geometria das regiões de integração e, se necessário, trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve interpretação do domínio no plano
e técnicas de integração por substituição.
Passo 2
Para desenhar a região note que as desigualdades são
A curva
equivale a
. Assim, a região no plano é o conjunto de pontos entre a parábola
, o eixo
e a reta horizontal
. Graficamente é um “segmento de parábola” de
até
.
Passo 3
Para trocar a ordem, expressamos primeiro os limites de
: como
e
, vemos que
varia de
a
e, para cada
,
varia de
a
. Logo
Passo 4
Como
não depende de
, a integral interna é imediata:
Restou calcular
Fazemos
,
, ou seja
. Quando
,
; quando
,
. Assim,