Exercício 4, III.4, pg 135. Desenhe as regiões de integração e calcule as integrais abaixo. Se necessário, inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{1+y^{3}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\sqrt{1+y^{3}}\;dy\;dx
aplicando geometria das regiões de integração e, se necessário, trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve interpretação do domínio no plano (x,y) e técnicas de integração por substituição.

Passo 2

Para desenhar a região note que as desigualdades são
0 \le x \le 1, \quad \sqrt{x} \le y \le 1.
A curva y=\sqrt{x} equivale a x=y^{2}. Assim, a região no plano é o conjunto de pontos entre a parábola x=y^{2}, o eixo x=0 e a reta horizontal y=1. Graficamente é um “segmento de parábola” de y=0 até y=1.

Passo 3

Para trocar a ordem, expressamos primeiro os limites de y: como \sqrt{x}\le y\le1 e 0\le x\le1, vemos que y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a y^{2}. Logo
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{x}}^{1}\sqrt{1+y^{3}}\;dy\;dx = \int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y^{2}}\sqrt{1+y^{3}}\;dx\;dy.

Passo 4

Como \sqrt{1+y^{3}} não depende de x, a integral interna é imediata:
\int_{x=0}^{y^{2}}\sqrt{1+y^{3}}\;dx =\bigl[x\sqrt{1+y^{3}}\bigr]_{0}^{y^{2}} =y^{2}\sqrt{1+y^{3}}.
Restou calcular
\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\;dy.
Fazemos u=1+y^{3}, du=3y^{2}\,dy, ou seja y^{2}\,dy = \tfrac{du}{3}. Quando y=0, u=1; quando y=1, u=2. Assim,
\int_{0}^{1}y^{2}\sqrt{1+y^{3}}\;dy =\int_{u=1}^{2}\sqrt{u}\;\frac{du}{3} =\frac{1}{3}\int_{1}^{2}u^{\tfrac12}\;du =\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\bigl[u^{\tfrac32}\bigr]_{1}^{2} =\frac{2}{9}\bigl(2^{\tfrac32}-1\bigr).

Resposta

\frac{2}{9}\bigl(2^{3/2}-1\bigr).

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