Exercício 4, III.4, pg 135. Desenhe as regiões de integração e calcule as integrais abaixo. Se necessário, inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x d y
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x d y
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a região de integração e calcular \r
O conteúdo é integração dupla sobre uma região no plano e troca de ordem de integração.
Passo 2
A região é dada por
isto é, o triângulo com vértices em
,
e
, abaixo da reta
dentro do quadrado unitário.
Passo 3
Para inverter a ordem, notamos que
varia de
a
e, para cada
,
vai de
até
. Logo
Passo 4
Reescrevendo a integral com essa ordem:
Passo 5
A integral interna em
é simples, pois
não depende de
:
Ficamos com
Passo 6
Use a substituição
, de onde
e
. Então
Passo 7
Avalie de
a
: