Exercício 4, III.4, pg 135. Desenhe as regiões de integração e calcule as integrais abaixo. Se necessário, inverta a ordem de integração.
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \sqrt{1+x^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região de integração e calcular \r
\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx\,dy. \r
O conteúdo é integração dupla sobre uma região no plano e troca de ordem de integração.

Passo 2

A região é dada por
0\le y\le1,\quad y\le x\le1,
isto é, o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), abaixo da reta y=x dentro do quadrado unitário.

Passo 3

Para inverter a ordem, notamos que x varia de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 até x. Logo
E=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le1\}.

Passo 4

Reescrevendo a integral com essa ordem:
\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1}\sqrt{1+x^{2}}\,dx\,dy =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{x}\sqrt{1+x^{2}}\,dy\,dx.

Passo 5

A integral interna em y é simples, pois \sqrt{1+x^{2}} não depende de y:
\int_{y=0}^{x}\sqrt{1+x^{2}}\,dy =\sqrt{1+x^{2}}\,(x-0) =x\sqrt{1+x^{2}}.
Ficamos com
\int_{0}^{1}x\sqrt{1+x^{2}}\,dx.

Passo 6

Use a substituição u=1+x^{2}, de onde du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Então
\int x\sqrt{1+x^{2}}\,dx =\frac12\int u^{1/2}\,du =\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} =\frac{1}{3}(1+x^{2})^{3/2}.

Passo 7

Avalie de 0 a 1:
\frac{1}{3}\Bigl[(1+1^{2})^{3/2}-(1+0)^{3/2}\Bigr] =\frac{1}{3}\bigl[2^{3/2}-1\bigr] =\frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1).

Resposta

\frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1).

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