(E) Mostre, usando a definição de integral dupla por somas de Riemann, que a integral \\iint_{D} 3 d x d y\ existe e calcule seu valor, sendo
o retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, via definição de soma de Riemann, que
existe, onde
, e então calcular esse valor. O conteúdo é integral dupla de função constante sobre retângulo, usando somas superiores e inferiores.
Passo 2
Tomemos uma partição
de
pelos pontos
Em cada subretângulo
a função
é constante, então
Passo 3
A soma inferior de Riemann é
e a soma superior é
Como
para qualquer partição, a diferença tende a zero; logo
é integrável em
.
Passo 4
O valor comum de
e
é
Como
segue