(E) Mostre, usando a definição de integral dupla por somas de Riemann, que a integral \\iint_{D} 3 d x d y\ existe e calcule seu valor, sendo D o retângulo [-2,4] \times[-1,3].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, via definição de soma de Riemann, que
\iint_{D}3\,dx\,dy
existe, onde D=[-2,4]\times[-1,3], e então calcular esse valor. O conteúdo é integral dupla de função constante sobre retângulo, usando somas superiores e inferiores.

Passo 2

Tomemos uma partição P de D pelos pontos
-2 = x_{0} < x_{1} < \cdots < x_{m} = 4, \quad -1 = y_{0} < y_{1} < \cdots < y_{n} = 3.
Em cada subretângulo
R_{ij} = [x_{i-1},x_{i}]\times[y_{j-1},y_{j}],
a função f(x,y)=3 é constante, então
\inf_{R_{ij}}f = \sup_{R_{ij}}f = 3.

Passo 3

A soma inferior de Riemann é
L(f,P) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\bigl(\inf_{R_{ij}}f\bigr)\,\Delta x_{i}\,\Delta y_{j} =3\sum_{i,j}\Delta x_{i}\,\Delta y_{j},
e a soma superior é
U(f,P) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}\bigl(\sup_{R_{ij}}f\bigr)\,\Delta x_{i}\,\Delta y_{j} =3\sum_{i,j}\Delta x_{i}\,\Delta y_{j}.
Como L(f,P)=U(f,P) para qualquer partição, a diferença tende a zero; logo f é integrável em D.

Passo 4

O valor comum de L(f,P) e U(f,P) é
3\sum_{i,j}\Delta x_{i}\,\Delta y_{j} =3\,\Area(D).
Como
\Area(D)=(4-(-2))\,(3-(-1))=6\times4=24,
segue
\iint_{D}3\,dx\,dy = 3\times24 = 72.

Resposta

\iint_{D}3\,dx\,dy = 72.

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