Calcule as integrais iteradas integral0^1 integral-x^x integraly^x 6 z d z d y d x, mudando a ordem de integração, se necessário.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla iterada
I = integralx=0^1integraly=-x^xintegralz=y^x6,z,dz,dy,dx,
que envolve integração sucessiva em z, depois y e por fim x. O conteúdo principal aqui é a aplicação direta do Teorema de Fubini e integração de funções polinomiais.

Passo 2

Integramos primeiro em relação a z, mantendo x e y fixos:
integralz=y^x6,z,dz =6[z^22]y^x =3l(x^2-y^2r)
Assim a integral torna-se
I=integral0^1integral-x^x3l(x^2-y^2r),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y:
integraly=-x^xl(x^2-y^2r)dy =l[x^2y-y^33r]-x^x =(x^3-tfracx^33)-(-x^3+tfracx^33) =43x^3
Multiplicando pelo fator 3 que estava fora,
integral-x^x3l(x^2-y^2r)dy =3cdot43x^3=4x^3
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I=integral0^14x^3,dx

Passo 4

Por fim, integramos em x:
integral0^14x^3,dx =4[x^44]0^1 =1

Resposta

O valor da integral iterada é 1.

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