Seja D a região entre as circunferências x^2+y^2=9 e x^2+y^2=25. Utilize coordenadas polares para calcular a integral dupla
integral duplaD 1raizx^2+y^2 d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD 1raizx^2+y^2,dA, onde D é a região no plano entre as circunferências x^2+y^2=9 e x^2+y^2=25. O conteúdo principal é usar coordenadas polares, e precisaremos da relação x=rcostheta, y=rsintheta, do jacobiano r e dos limites de r e theta.

Passo 2

Em coordenadas polares temos dA = r,dr,dtheta e raizx^2+y^2=r, então o integrando 1/raizx^2+y^2 vira 1/r. Assim o elemento de área vezes o integrando fica
1r;l(r,dr,dthetar)=dr,dtheta

Passo 3

Os limites são r de 3 a 5 (entre as circunferências) e theta de 0 a 2pi. Portanto a integral vira
integral0^2pi!integral3^5dr,dtheta

Passo 4

Integral em r: integral3^5dr = 5-3 = 2. Depois em theta: integral0^2pi2,dtheta = 2times2pi = 4pi.

Resposta

4\pi

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