Calcule as integrais iteradas:
\quad \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 x} x y^{3} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{1}^{2}\int_{0}^{2x}x\,y^{3}\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração iterada: primeiro integramos em y (tratando x como constante) e depois integramos o resultado em x.

Passo 2

Vamos fazer a integral interna em y. Como x é constante em relação a y, temos
\int_{0}^{2x}x\,y^{3}\,dy = x\int_{0}^{2x}y^{3}\,dy = x\left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{0}^{2x} = x\cdot\frac{(2x)^{4}}{4} = x\cdot\frac{16\,x^{4}}{4} =4\,x^{5}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{1}^{2}4\,x^{5}\,dx =4\int_{1}^{2}x^{5}\,dx =4\left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{1}^{2} =4\cdot\frac{2^{6}-1^{6}}{6} =4\cdot\frac{64-1}{6} =4\cdot\frac{63}{6} =4\cdot10,5 =42.

Resposta

O valor da integral é 42.

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