Calcule a seguinte integral iterada:
\quad \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x+y}(x+y+z) d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x+y}(x+y+z)\,dz\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada em três variáveis; vamos resolver em ordem: primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Para a integral interna em z, (x+y) é constante. Então
\int_{0}^{x+y}(x+y+z)\,dz =\int_{0}^{x+y}(x+y)\,dz+\int_{0}^{x+y}z\,dz =(x+y)(x+y)+\frac{(x+y)^2}{2} =\frac{3}{2}(x+y)^2.

Passo 3

Substituindo no segundo nível, temos
\int_{0}^{x}\frac{3}{2}(x+y)^2\,dy =\frac{3}{2}\int_{0}^{x}(x+y)^2\,dy =\frac{3}{2}\left[\frac{(x+y)^3}{3}\right]_{y=0}^{y=x} =\frac{3}{2}\cdot\frac{(2x)^3 - x^3}{3} =\frac{7}{2}x^3.

Passo 4

Por fim, integramos em x:
\int_{0}^{1}\frac{7}{2}x^3\,dx =\frac{7}{2}\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} =\frac{7}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{7}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{8}

Exercícios relacionados