Classifique as equações abaixo como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Justifique.
(a) y^{\prime}=x^{2} y+\sin (x)

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar a equação de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=x^{2}y+\sin(x)
como exata, separável, linear ou nenhuma delas. Vamos verificar, nesta ordem, separabilidade, exatidão e linearidade.

Passo 2

Para ser separável, a equação precisaria ter a forma
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
Aqui temos
\frac{dy}{dx}=x^{2}y+\sin(x),
onde o termo \sin(x) impede a escrita como produto de uma função de x por uma de y. Portanto, não é separável.

Passo 3

Escrevemos a equação em forma diferencial
\frac{dy}{dx}-x^{2}y-\sin(x)=0
e multiplicamos por dx, obtendo
\bigl(-x^{2}y-\sin(x)\bigr)\,dx+1\cdot dy=0.
Assim M(x,y)=-x^{2}y-\sin(x) e N(x,y)=1. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=-x^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como \frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x}, a equação não é exata.

Passo 4

Para ver se é linear, comparamos com a forma
\frac{dy}{dx}+p(x)\,y=q(x).
Reescrevendo
\frac{dy}{dx}-x^{2}y=\sin(x),
vemos que p(x)=-x^{2} e q(x)=\sin(x). Isso mostra que a equação é do tipo linear de primeiro ordem.

Resposta

Linear.

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