(Técnicas de construção de gráficos
pontos) Dada a função
ache os extremos relativos de
pelo teste da derivada primeira;
ache os extremos relativos de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função
usando o teste da derivada primeira. Isso significa que vamos descobrir onde a função tem máximos ou mínimos locais, ou seja, os pontos mais altos ou mais baixos próximos de cada ponto na curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos relativos, precisamos calcular a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo. A função dada é:
Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada
é um polinômio e está definida para todos os valores de
. Então, vamos resolver a equação:
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
. Substituindo:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Agora, vamos usar o teste da derivada primeira para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou um mínimo. Para isso, escolhemos intervalos ao redor de cada ponto crítico e analisamos o sinal da derivada
nesses intervalos.
-
Primeiro ponto crítico:
- Escolhemos um valor menor que esse
e um valor entre esse e o próximo ponto crítico, e verificamos o sinal de .
- Escolhemos um valor menor que esse
-
Segundo ponto crítico:
- Escolhemos um valor entre o primeiro e o segundo ponto crítico, e um valor maior que o segundo ponto crítico, e verificamos o sinal de
.
- Escolhemos um valor entre o primeiro e o segundo ponto crítico, e um valor maior que o segundo ponto crítico, e verificamos o sinal de
Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo. Se muda de negativa para positiva, temos um mínimo.
Passo 5
Após testar os intervalos, podemos concluir que:
- No primeiro ponto crítico
, a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo. - No segundo ponto crítico
, a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.
Resposta
Os extremos relativos da função
são:
- Máximo relativo em
- Mínimo relativo em