(Técnicas de construção de gráficos -2,5 pontos) Dada a função f(x)=13 x^3+12 x^2-x
ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os extremos relativos da função usando o teste da derivada primeira. Isso significa que vamos descobrir onde a função tem máximos ou mínimos locais, ou seja, os pontos mais altos ou mais baixos próximos de cada ponto na curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os extremos relativos, precisamos calcular a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como a função está crescendo ou decrescendo. A função dada é:
f(x) = 13x^3 + 12x^2 - x
Vamos derivar termo a termo:
f'(x) = ddx(13x^3) + ddx(12x^2) - ddx(x)
Calculando cada derivada:
f'(x) = 13 cdot 3x^2 + 12 cdot 2x - 1 = x^2 + x - 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos. Esses pontos acontecem onde a derivada é igual a zero ou não existe. No nosso caso, a derivada x^2 + x - 1 = 0 é um polinômio e está definida para todos os valores de x = -b pm raizb^2 - 4ac2a . Então, vamos resolver a equação:
x = -1 pm raiz(1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-1)2 cdot 1 = -1 pm raiz1 + 42 = -1 pm raiz52
Para resolver essa equação quadrática, podemos usar a fórmula de Bhaskara:
x = -1 + raiz52 e x = -1 - raiz52
Onde , , e . Substituindo:
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Agora, vamos usar o teste da derivada primeira para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou um mínimo. Para isso, escolhemos intervalos ao redor de cada ponto crítico e analisamos o sinal da derivada nesses intervalos.
  1. Primeiro ponto crítico:
    • Escolhemos um valor menor que esse e um valor entre esse e o próximo ponto crítico, e verificamos o sinal de .
  2. Segundo ponto crítico:
    • Escolhemos um valor entre o primeiro e o segundo ponto crítico, e um valor maior que o segundo ponto crítico, e verificamos o sinal de .
Se a derivada muda de positiva para negativa, temos um máximo. Se muda de negativa para positiva, temos um mínimo.

Passo 5

Após testar os intervalos, podemos concluir que:
  • No primeiro ponto crítico , a derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo relativo.
  • No segundo ponto crítico , a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.

Resposta

Os extremos relativos da função são:
  • Máximo relativo em
  • Mínimo relativo em

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