Calcule as integrais iteradas utilizando as regras de integração pertinentes.
integral0^1 integralx^2-x(x^2-y) d y d x

Passo 1

Beleza, o objetivo é calcular a integral iterada
integral0^1integralx^2-x(x^2-y),dy,dx
Isso é parte de integrais duplas/iteradas em Cálculo. Para mandar ver na resolução, vamos usar:
  1. Teorema Fundamental do Cálculo (primitivas e avaliação de limites)
  2. Linearidade da integral (separar soma/subtração)
  3. Regra de potência (achar antiderivadas)

Passo 2

Primeiro, integra em relação a y. Como x é constante nesse passo,
integral (x^2-y),dy =integral x^2,dy ;-;integral y,dy =x^2y ;-;y^22+C
Agora a gente avalia entre y=x e y=2-x:
l[x^2y - tfracy^22r]y=x^,y=2-x

Passo 3

Substituindo os limites:
l(x^2(2-x)-tfrac(2-x)^22r) ;-;l(x^2cdot x-tfracx^22r)
Fazendo as contas passo a passo:
  1. x^2(2-x)=2x^2-x^3
  2. tfrac(2-x)^22=tfrac4-4x+x^22=2-2x+tfracx^22
  3. x^2cdot x-tfracx^22=x^3-tfracx^22
Juntando tudo dá
2x^2-x^3 ;-;(2-2x+tfracx^22) ;-;x^3+tfracx^22 =-2x^3+2x^2+2x-2
Chamamos isso de I(x)=-2x^3+2x^2+2x-2.

Passo 4

Agora integra I(x) de 0 a 1:
integral0^1(-2x^3+2x^2+2x-2),dx
Usando potência:
integral -2x^3dx=-x^42, integral 2x^2dx=2x^33, integral 2x,dx=x^2, integral -2,dx=-2x
A primitiva é
-tfracx^42+tfrac2x^33+x^2-2x
Avalia de 0 a 1:
l(-tfrac12+tfrac23+1-2r)-0 =-tfrac12+ tfrac23 -1 =,-tfrac56

Resposta

-56

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