(1,0 ponto) Determine o domínio de F(t)=(t, raizt-2t+1, ln (5-t^2), 1e^-t).

Passo 1

O enunciado define a função vetor
F(t)=l(t,;raiztfract-2,t+1,,;lnl(5-t^2r),;tfrac1e^-tr)
Queremos o domínio, ou seja, todos os tinR tais que cada componente esteja bem definida. As restrições surgem de:
  1. radiciação em raiz(t-2)/(t+1),
  2. logaritmo em ln(5-t^2),
  3. e da divisão em 1/e^-t.

Passo 2

Para raiztfract-2t+1 precisamos que o quociente esteja não negativo e o denominador não seja zero:
tfract-2t+1>= 0, tneq -1
Os zeros críticos são t=2 e t=-1. Testando intervalos, chega-se a
tfract-2t+1>=0 iff tin(-infty,-1)cup[2,infty), tneq -1

Passo 3

Para ln(5-t^2) requeremos argumento positivo:
5-t^2>0 iff -raiz5<t<raiz5

Passo 4

Na componente 1/e^-t, como e^-t>0 para todo t, não há restrição extra (o denominador nunca se anula).

Passo 5

O domínio de F é a interseção das restrições das componentes 2 e 3:
tinl((-infty,-1)cup[2,infty)r);cap;(-raiz5,raiz5)
Fazendo a interseção vemos que
(-infty,-1)cap(-raiz5,raiz5) = (-raiz5,-1),
e
[2,infty)cap(-raiz5,raiz5) = [2,raiz5)

Resposta

O domínio de F é
(-raiz5,-1);cup;[2,raiz5)

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