Considere a função f(x)=cos x^3-ln x. Encontre uma aproximação para raiz, utilizando Newton-Raphson com x0=1,8 e com erro 0,0001 . Resp: x3 =1,7437

Passo 1

A questão pede a raiz da função f(x)=cos(x^3)-ln x usando o método de Newton–Raphson, partindo de x0=1,8 e com critério de parada lvert xn+1-xnrvert<10^-4. Vamos aplicar derivadas e iterações até atender ao erro tolerado.

Passo 2

Precisamos da derivada de f. Derivando temos:

Passo 3

f'(x)=ddxl(cos(x^3)r)-ddx(ln x)=-3x^2sin(x^3)-1x
A fórmula de iteração de Newton–Raphson é

Passo 4

xn+1=xn-f(xn)f'(xn)

Passo 5

Na primeira iteração, com x0=1,8:

Passo 6

f(1,8)=cos(1,8^3)-ln(1,8)approx0,31325, f'(1,8)approx3,6614,
x1=1,8-0,313253,6614approx1,7144

Passo 7

Na segunda iteração, com x1approx1,7144:

Passo 8

f(1,7144)approx-0,21248, f'(1,7144)approx7,7549,
x2=1,7144--0,212487,7549approx1,7420

Passo 9

Na terceira iteração, com x2approx1,7420:

Passo 10

f(1,7420)approx-0,00944, f'(1,7420)approx7,0609,
x3=1,7420--0,009447,0609approx1,7437
Verificamos |x3-x2|approx0,00005<10^-4, então paramos aqui.

Resposta

x_3 = 1.7437

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