Calcule as integrais iteradas utilizando as regras de integração pertinentes.
integral0^1 integral-y-1^y-1(x^2+y^2) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral0^1integral-y-1^y-1l(x^2+y^2r),dx,dy
O conteúdo é integração de polinômios em variáveis acopladas pelos limites. Vamos primeiro integrar em x usando a regra de potência e depois em y.

Passo 2

Compute a integral interna em x:
integral-y-1^y-1l(x^2+y^2r),dx = integral-y-1^y-1x^2,dx + integral-y-1^y-1y^2,dx
Pela regra de potência,
integral x^2,dx=x^33, integral y^2,dx=y^2x
Avaliaremos de x=-y-1 até x=y-1.

Passo 3

Avaliações:
(y-1)^33-(-y-1)^33 =13l[(y-1)^3-(-y-1)^3r],
y^2l[(y-1)-(-y-1)r] =y^2(2y) =2y^3
Note que
(y-1)^3-(-y-1)^3 =2y^3+6y
Portanto a integral interna vira
13(2y^3+6y)+2y^3 =23y^3+2y+2y^3 =83y^3+2y

Passo 4

Integramos agora em y:
integral0^1l(tfrac83y^3+2yr),dy = tfrac83integral0^1y^3,dy + 2integral0^1y,dy
Como
integral0^1y^3,dy=14, integral0^1y,dy=12,
temos
tfrac83cdottfrac14+2cdottfrac12 =tfrac23+1 =tfrac53

Resposta

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