Sejam F(t)=(t, t, t^2), G(t)=(1,2 t, e^t) e H(t)=(sen t, e^-2 t, 1). Calcule:
F wed>= G+F wed>= H.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor
F(t)wed>=G(t);+;F(t)wed>=H(t),
onde
F(t)=(t,;t,;t^2),
G(t)=(1,;2t,;e^t) e
H(t)=(sin t,;e^-2t,;1).
O conteúdo principal aqui é a definição de produto vetorial em R^3:
se A=(A1,A2,A3) e B=(B1,B2,B3), então
Awed>=B =l(A2B3 - A3B2,;A3B1 - A1B3,;A1B2 - A2B1r)

Passo 2

Vamos aplicar essa fórmula a Fwed>=G. Tomando
F=(F1,F2,F3)=(t,t,t^2) e
G=(G1,G2,G3)=(1,2t,e^t), obtemos
Fwed>=G =l( F2G3 - F3G2,; F3G1 - F1G3,; F1G2 - F2G1 r)
Calculando cada componente:
F2G3 - F3G2 = tcdot e^t - t^2cdot(2t) = t,e^t - 2t^3,
F3G1 - F1G3 = t^2cdot1 - tcdot e^t = t^2 - t,e^t,
F1G2 - F2G1 = tcdot(2t) - tcdot1 = 2t^2 - t
Portanto
Fwed>=G =l(t,e^t - 2t^3,;t^2 - t,e^t,;2t^2 - tr)

Passo 3

Agora calculamos Fwed>=H. Com
H=(H1,H2,H3)=(sin t,e^-2t,1), temos
Fwed>=H =l( F2H3 - F3H2,; F3H1 - F1H3,; F1H2 - F2H1 r)
Calculando cada componente:
F2H3 - F3H2 = tcdot1 - t^2cdot e^-2t = t - t^2e^-2t,
F3H1 - F1H3 = t^2cdotsin t - tcdot1 = t^2sin t - t,
F1H2 - F2H1 = tcdot e^-2t - tcdotsin t = t,e^-2t - tsin t
Logo
Fwed>=H =l(t - t^2e^-2t,;t^2sin t - t,;t,e^-2t - tsin tr)

Passo 4

Finalmente, somamos os resultados obtidos em cada produto vetorial:
Fwed>=G+Fwed>=H = l( (t,e^t - 2t^3) + (t - t^2e^-2t),; (t^2 - t,e^t) + (t^2sin t - t),; (2t^2 - t) + (t,e^-2t - tsin t) r)
Reagrupando termos,
=l( t,e^t + t - 2t^3 - t^2e^-2t,; t^2 + t^2sin t - t,e^t - t,; 2t^2 - t + t,e^-2t - tsin t r)

Resposta

F(t)wed>=G(t)+F(t)wed>=H(t) = l( t,e^t + t - 2t^3 - t^2e^-2t,; t^2 + t^2sin t - t,e^t - t,; 2t^2 - t + t,e^-2t - tsin t r)

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