Determine se as séries convergem ou divergem.
sumf=2^+infty(1n ln (n))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=2^+infty 1n ln(n) converge ou diverge. Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Integral, que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Se a função f(n) é positiva, contínua e decrescente para n >= N, então a série sumn=N^+infty f(n) e a integral integralN^+infty f(x) dx vão tanto convergir quanto divergir juntos. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e vice-versa.

Passo 3

Agora, aplicando isso à nossa série, temos f(n) = 1n ln(n). Vamos calcular a integral correspondente:
integral2^+infty 1x ln(x) dx

Passo 4

Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = ln(x), então du = 1x dx. A integral fica:
integral 1u du = ln|u| + C = ln(ln(x)) + C

Passo 5

Agora, avaliamos os limites da integral:
limb to +infty ln(ln(b)) - ln(ln(2))
À medida que b tende ao infinito, ln(b) também tende ao infinito, e assim ln(ln(b)) também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.

Resposta

A série sumn=2^+infty 1n ln(n) diverge.

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