Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar um método chamado Teste da Integral, que ajuda a determinar o comportamento de séries infinitas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Integral. Se a função
é positiva, contínua e decrescente para
, então a série
e a integral
vão tanto convergir quanto divergir juntos. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e vice-versa.
Passo 3
Agora, aplicando isso à nossa série, temos
. Vamos calcular a integral correspondente:
Passo 4
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos deixar
, então
. A integral fica:
Passo 5
Agora, avaliamos os limites da integral:
À medida que
tende ao infinito,
também tende ao infinito, e assim
também vai para o infinito. Portanto, a integral diverge.
Resposta
A série
diverge.