O polinômio p(x)=x^5-109 x^3+521 x tem uma raiz real no intervalo (-1,-0,75) e outra raiz no intervalo [-0,75,-0,25]. Considere o erro 0,1 .
Encontre uma raiz com o método de Newton-Raphson com x0=-0,8.

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar, via método de Newton-Raphson, uma raiz real do polinômio
p(x)=x{5}-\tfrac{10}{9}x{3}+\tfrac{5}{21}x
que está no intervalo (–1,–0,75), usando chute inicial x_{0}=–0,8 e tolerância de erro 0,1.

Passo 2

Precisamos da derivada de p(x) e da fórmula iterativa de Newton-Raphson. A derivada é
p’(x)=5x{4}-\frac{10}{3}x{2}+\frac{5}{21}.
Em seguida, aplicamos a iteração
xn+1=xn-p(xn)p'(xn)

Passo 3

No chute inicial x_{0}=-0,8, calculamos p(x_{0}) e p’(x_{0}):
p(x_{0})\approx(-0,8){5}-\tfrac{10}{9}(-0,8){3}+\tfrac{5}{21}(-0,8)\approx0,05074,
p’(x_{0})\approx5(0,8){4}-\tfrac{10}{3}(0,8){2}+\tfrac{5}{21}\approx0,15276.
Logo,
x1= -0,8 - 0,050740,15276approx -1,1323

Passo 4

Para x_{1}≈-1{,}1323, calculamos:
p(x_{1})≈-0,5165,
p’(x_{1})≈4,1798,
assim,
x2= -1,1323 - -0,51654,1798approx -1,0087
A diferença |x_{2}-x_{1}|≈0,1236 ainda é maior que 0,1, então iteramos de novo.

Passo 5

Agora em x_{2}≈-1{,}0087, temos:
p(x_{2})≈-0,1441,
p’(x_{2})≈2,0230,
portanto,
x3= -1,0087 - -0,14412,0230approx -0,9375
Verificamos |x_{3}-x_{2}|≈0,0712 que é menor que a tolerância 0,1, então paramos aqui.

Resposta

A raiz aproximada é x≈-0,9375.

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