Calcule as integrais iteradas utilizando as regras de integração pertinentes.
integral1^2 integralx^3^x e^y / x d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
integral1^2integralx^3^xe^y/x,dy,dx
Aqui o conteúdo é integração de iteradas, onde primeiro integramos em y (mantendo x fixo) e depois resolvemos a integral em x. Vamos usar substituição simples para cada etapa.

Passo 2

Calcular a integral interna em y:
integralx^3^xe^y/x,dy
Como ddy(e^y/x)=(1/x)e^y/x, temos diretamente
integral e^y/x,dy = x,e^y/x+C
Logo,
integralx^3^xe^y/x,dy = xl(e^x/x-e^x^3/xr) = xl(e - e^x^2r)

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
integral1^2xl(e - e^x^2r),dx = eintegral1^2x,dx ;-;integral1^2x,e^x^2,dx

Passo 4

Calcular integral1^2x,dx:
integral1^2x,dx =l[tfracx^22r]1^2 =42-12 =32

Passo 5

Calcular integral1^2x,e^x^2,dx por substituição u=x^2, du=2x,dx:
integral1^2x,e^x^2,dx =12integralu=1^4e^u,du =12l[e^ur]1^4 =12l(e^4-er)

Passo 6

Juntando tudo,
I = ecdot32 -12l(e^4-er) =3e2-e^42+e2 =2e-e^42

Resposta

2e-e^42

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