Encontre a solução numérica da equação f(x)=e^2 x+x-5 usando o método de Newton Raphson com x0 =1 e erro =0,003. Resp: 0,7263

Passo 1

A questão pede para resolver numericamente a equação f(x)=e^2x+x-5 usando o método de Newton-Raphson a partir de x0 = 1 até que o erro em f(xn) seja menor que 0,003. Vamos usar o conceito de função e sua derivada.

Passo 2

Calculamos a derivada f'(x). Como f(x)=e^2x+x-5, temos:
f'(x) = ddx(e^2x) + ddx(x) - ddx(5) = 2e^2x + 1
A fórmula iterativa do Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)

Passo 3

Primeira iteração: com x0 = 1,
Calculamos:
f(x0) = e^2cdot 1 + 1 - 5 = e^2 - 4 approx 7,389 - 4 = 3,389,
f'(x0) = 2e^2 + 1 approx 2cdot 7,389 + 1 = 15,778 + 1 = 16,778
Assim,
x1 = 1 - 3,38916,778 approx 0,798

Passo 4

Segunda iteração: com x1 = 0,798,
Calculamos:
f(x1) = e^2cdot0,798 + 0,798 - 5 = e^1,596 + 0,798 - 5 approx 4,935 + 0,798 - 5 = 0,733,
f'(x1) = 2e^1,596 + 1 approx 2cdot4,935 + 1 = 9,870 + 1 = 10,870
Logo,
x2 = 0,798 - 0,73310,870 approx 0,7306

Passo 5

Terceira iteração e critério de parada: com x2 = 0,7306,
Calculamos:
f(x2) = e^2cdot0,7306 + 0,7306 - 5 = e^1,4612 + 0,7306 - 5 approx 4,311 + 0,7306 - 5 = 0,0416,
f'(x2) = 2e^1,4612 + 1 approx 2cdot4,311 + 1 = 8,622 + 1 = 9,622
Então,
x3 = 0,7306 - 0,04169,622 approx 0,7263
Verificamos o critério:
|f(x3)| = |e^2cdot0,7263 + 0,7263 - 5| approx 0,0007 < 0,003,
portanto paramos o processo.

Resposta

0,7263

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