Determine se as séries convergem ou divergem.
sumf=1^+infty(n^2+nraizn^5+1)

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série sumn=1^+infty(n^2+nraizn^5+1) converge ou diverge. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às técnicas de teste de convergência. Para resolver, vamos analisar o comportamento dos termos gerais da série conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão n^2+nraizn^5+1. Para entender melhor, vamos observar o que acontece quando n é muito grande. Quando n aumenta, os termos de maior grau nas expressões dominam. Ou seja, n^2 + n approx n^2 e n^5 + 1 approx n^5. Então, podemos aproximar a expressão assim:
n^2+nraizn^5+1 approx n^2raizn^5 = n^2n^2.5 = 1n^0.5

Passo 3

Com essa simplificação, percebemos que a série se comporta de maneira semelhante à série sumn=1^+infty 1n^0.5. Agora, precisamos lembrar de um conceito importante: a série p. Uma série p é da forma sumn=1^+infty 1n^p e tem as seguintes propriedades:
  • Converge se p > 1.
  • Diverge se p <= 1.
No nosso caso, p = 0.5, que é menor que 1. Isso já nos dá uma pista de que a série sumn=1^+infty 1n^0.5 diverge.

Passo 4

Agora, para confirmar o comportamento da nossa série original, vamos usar o Teste da Comparação Limitada (ou Teste da Comparação). Esse teste nos permite comparar a série que estamos analisando com uma série conhecida (no caso, a série p).
Calculamos o limite:
limn to +infty n^2+nraizn^5+11n^0.5 = limn to +infty n^2+nraizn^5+1 cdot n^0.5
Simplificando:
= limn to +infty n^2 cdot n^0.5 + n cdot n^0.5raizn^5+1 = limn to +infty n^2.5 + n^1.5raizn^5+1
Novamente, para n grande:
approx limn to +infty n^2.5n^2.5 = 1

Passo 5

Como o limite é uma constante positiva diferente de zero ( L = 1), o Teste da Comparação Limitada nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Já sabemos que a série sumn=1^+infty 1n^0.5 diverge, então a nossa série original também diverge.

Resposta

A série sumn=1^+infty(n^2+nraizn^5+1) diverge.

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