Determine se as séries convergem ou divergem.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a série
converge ou diverge. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de séries infinitas, mais especificamente às técnicas de teste de convergência. Para resolver, vamos analisar o comportamento dos termos gerais da série conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Para entender melhor, vamos observar o que acontece quando
é muito grande. Quando
aumenta, os termos de maior grau nas expressões dominam. Ou seja,
e
. Então, podemos aproximar a expressão assim:
Passo 3
Com essa simplificação, percebemos que a série se comporta de maneira semelhante à série
. Agora, precisamos lembrar de um conceito importante: a série p. Uma série p é da forma
e tem as seguintes propriedades:
- Converge se
. - Diverge se
.
No nosso caso,
, que é menor que 1. Isso já nos dá uma pista de que a série
diverge.
Passo 4
Agora, para confirmar o comportamento da nossa série original, vamos usar o Teste da Comparação Limitada (ou Teste da Comparação). Esse teste nos permite comparar a série que estamos analisando com uma série conhecida (no caso, a série p).
Calculamos o limite:
Simplificando:
Novamente, para
grande:
Passo 5
Como o limite é uma constante positiva diferente de zero (
), o Teste da Comparação Limitada nos diz que as duas séries têm o mesmo comportamento em termos de convergência ou divergência. Já sabemos que a série
diverge, então a nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge.