Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d R ; F(x, y)=y i+x j ; C: R(t)=t i+t^2 j, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é basicamente somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Aqui, temos o campo vetorial F(x, y) = y i + x j e o caminho C definido por R(t) = t i + t^2 j para t variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar o caminho e calcular a diferencial dR.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização do caminho C. A função R(t) = t i + t^2 j nos diz como x e y variam com t. Então, temos:
x(t) = t e y(t) = t^2
Isso significa que à medida que t varia de 0 a 1, o ponto (x, y) se move ao longo da curva C.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a diferencial dR, que representa um pequeno deslocamento ao longo do caminho. Calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 1 e dydt = 2t
Então, a diferencial é:
dR = dxdt dt i + dydt dt j = (1 , i + 2t , j) dt

Passo 4

Agora, vamos substituir F(x, y) pela parametrização do caminho. Como x = t e y = t^2, temos:
F(x(t), y(t)) = y(t) i + x(t) j = t^2 i + t j

Passo 5

A integral de linha integralC F cdot dR pode ser reescrita em termos de t usando as expressões que encontramos:
integral0^1 F(x(t), y(t)) cdot dR = integral0^1 (t^2 i + t j) cdot (1 i + 2t j) dt
Isso significa que vamos calcular o produto escalar dos dois vetores e integrar o resultado em relação a t de 0 a 1.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:
(t^2 i + t j) cdot (1 i + 2t j) = t^2 cdot 1 + t cdot 2t = t^2 + 2t^2 = 3t^2
Então, a integral fica:
integral0^1 3t^2 dt

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 3t^2 dt = 3 integral0^1 t^2 dt = 3 [ t^33 ]0^1 = 3 ( 13 - 0 ) = 1

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d R vale 1.

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