Calcule as integrais de linha
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha, que é basicamente somar as contribuições de um campo vetorial ao longo de um caminho específico. Aqui, temos o campo vetorial
e o caminho
definido por
para
variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar saber como parametrizar o caminho e calcular a diferencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização do caminho
. A função
nos diz como
e
variam com
. Então, temos:
Isso significa que à medida que
varia de 0 a 1, o ponto
se move ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a diferencial
, que representa um pequeno deslocamento ao longo do caminho. Calculamos as derivadas de
e
em relação a
:
Então, a diferencial é:
Passo 4
Agora, vamos substituir
pela parametrização do caminho. Como
e
, temos:
Passo 5
A integral de linha
pode ser reescrita em termos de
usando as expressões que encontramos:
Isso significa que vamos calcular o produto escalar dos dois vetores e integrar o resultado em relação a
de 0 a 1.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Resposta
A integral de linha
vale 1.