Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma soma.
(a^2 x^-3+b x^3)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois fatorar a expressão (a^2 x^-3 + b x^3)^3. O conteúdo é a fórmula do cubo de uma soma, que é
(u+v)^3 = u^3 + 3u^2v + 3uv^2 + v^3
Precisamos identificar u e v e manipular as potências, inclusive as negativas.

Passo 2

Identificamos
u = a^2 x^-3, v = b x^3
Aplicando a fórmula do cubo de uma soma, obtemos
u^3 = a^6 x^-9, 3u^2v = 3a^4 x^-6cdot b x^3 = 3a^4b x^-3,
3uv^2 = 3a^2 x^-3cdot b^2 x^6 = 3a^2b^2 x^3, v^3 = b^3 x^9
Somando todos os termos, a expansão fica
a^6 x^-9 + 3a^4b x^-3 + 3a^2b^2 x^3 + b^3 x^9

Passo 3

Para fatorar a expressão expandida
a^6 x^-9 + 3a^4b x^-3 + 3a^2b^2 x^3 + b^3 x^9
reconhecemos que é exatamente a forma expandida de (a^2 x^-3 + b x^3)^3. Logo,
a^6 x^-9 + 3a^4b x^-3 + 3a^2b^2 x^3 + b^3 x^9 = (a^2 x^-3 + b x^3)^3

Resposta

(a) a^6 x^-9 + 3a^4b x^-3 + 3a^2b^2 x^3 + b^3 x^9
(b) (a^2 x^-3 + b x^3)^3

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