Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(x-y)^3

Passo 1

O enunciado dá a expressão (x - y)^3 e pede:
(a) expandir essa potência cúbica de uma diferença;
(b) fatorar o resultado da expansão e mostrar que volta à forma original.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial para uma diferença ao cubo, temos
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3
Substituindo a = x e b = y, obtemos a expansão:
x^3 - 3x^2 y + 3x y^2 - y^3

Passo 3

Agora vamos fatorar
x^3 - 3x^2 y + 3x y^2 - y^3
Podemos agrupar ou usar direto a identidade de soma e diferença de cubos:
x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)
e notar que o termo extra -3x^2y + 3xy^2 pode ser escrito como -3xy(x - y). Portanto,
x^3 - 3x^2 y + 3x y^2 - y^3 = (x^3 - y^3) - 3xy(x - y) = (x - y)(x^2 + xy + y^2) - 3xy(x - y) = (x - y)l(x^2 + xy + y^2 - 3xyr) = (x - y)(x^2 - 2xy + y^2) = (x - y)(x - y)^2 = (x - y)^3
Assim, ao fatorar a expansão, recuperamos exatamente a expressão inicial.

Resposta

(a) x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3
(b) fatorando, obtém-se (x - y)^3, que coincide com a expressão dada.

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