Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(m-n)^3

Passo 1

O enunciado pede para expandir e depois refatorar a expressão (m-n)^3. O conteúdo envolvido é o Teorema do Binômio (caso do cubo de uma diferença). Vamos usar a identidade de produto de binômios para expandir e em seguida mostrar que voltamos à forma original.

Passo 2

Primeiro calculamos (m-n)^2 por produto de binômios:
(m-n)^2 = (m-n)(m-n) = m^2 - 2mn + n^2

Passo 3

Agora multiplicamos (m-n)^2 por (m-n) para obter o cubo:
(m-n)^3 = (m^2 - 2mn + n^2)(m-n)
Distribuindo termo a termo:
m^2cdot(m-n)&=m^3-m^2n, (-2mn)cdot(m-n)&=-2m^2n+2mn^2, n^2cdot(m-n)&=mn^2-n^3
Somando tudo, obtemos
(m-n)^3 = m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3

Passo 4

Agora fatoramos o polinômio resultante. Observando os coeficientes (1,,-3,,3,,-1), reconhecemos o cubo de uma diferença:
m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3 = (m-n)^3

Passo 5

Comparando, vemos que a fatoração recupera exatamente a expressão original dada no enunciado.

Resposta

(a) A expansão é
m^3 - 3m^2n + 3mn^2 - n^3
(b) Ao fatorar o polinômio obtido, voltamos à forma
(m-n)^3,
que é a expressão inicial.

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