Beleza! O enunciado pede para calcular uma integral de linha da função vetorial ao longo da curva definida por , onde varia de a . Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha no cálculo vetorial, que envolve parametrizar a curva e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva . Já temos . Para calcular a integral, precisamos da derivada dessa parametrização em relação a :
Passo 3
Agora, substituímos a parametrização na função vetorial . Como e , temos:
Passo 4
O próximo passo é calcular o produto escalar :
Passo 5
Simplificamos a expressão resultante:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de a :
Vamos quebrar a integral em partes:
Passo 7
Calculamos cada integral separadamente.
Para , usamos substituição , :
Para 2 integral sin t , dt:
2 integral sin t , dt = -2 cos t g|0^pi
Para 8 integral sin t cos t , dt, novamente substituição u = cos t, du = -sin t , dt:
8 integral sin t cos t , dt = -8 integral u , du = -8 ( u^22 ) = -4 u^2 = -4 cos^2 t g|0^pi