Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d R ; F(x, y)=2 x y i+(x-2 y) j ; C: R(t)=sen t i-2 cos t j, 0 <= t <= pi.

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para calcular uma integral de linha da função vetorial F(x, y) = 2xy i + (x - 2y) j ao longo da curva C definida por R(t) = sin t i - 2 cos t j, onde t varia de 0 a pi. Vamos precisar usar o conceito de integrais de linha no cálculo vetorial, que envolve parametrizar a curva e calcular o produto escalar entre o campo vetorial e a derivada da parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. Já temos R(t) = sin t i - 2 cos t j. Para calcular a integral, precisamos da derivada dessa parametrização em relação a t:
R'(t) = ddt (sin t i - 2 cos t j) = cos t i + 2 sin t j

Passo 3

Agora, substituímos a parametrização na função vetorial F(x, y). Como x = sin t e y = -2 cos t, temos:
F(sin t, -2 cos t) = 2(sin t)(-2 cos t) i + (sin t - 2(-2 cos t)) j = -4 sin t cos t i + (sin t + 4 cos t) j

Passo 4

O próximo passo é calcular o produto escalar F(R(t)) cdot R'(t):
F cdot R' = (-4 sin t cos t)(cos t) + (sin t + 4 cos t)(2 sin t) = -4 sin t cos^2 t + 2 sin t + 8 sin t cos t

Passo 5

Simplificamos a expressão resultante:
-4 sin t cos^2 t + 2 sin t + 8 sin t cos t = sin t ( -4 cos^2 t + 2 + 8 cos t )

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de t = 0 a t = pi:
integral0^pi sin t (-4 cos^2 t + 2 + 8 cos t ) , dt
Vamos quebrar a integral em partes:
-4 integral0^pi sin t cos^2 t , dt + 2 integral0^pi sin t , dt + 8 integral0^pi sin t cos t , dt

Passo 7

Calculamos cada integral separadamente.
  1. Para -4 integral sin t cos^2 t , dt, usamos substituição u = cos t, du = -sin t , dt:
-4 integral sin t cos^2 t , dt = -4 ( -integral u^2 , du ) = 4 integral u^2 , du = 43 u^3 = 43 cos^3 t g|0^pi
  1. Para 2 integral sin t , dt:
2 integral sin t , dt = -2 cos t g|0^pi
  1. Para 8 integral sin t cos t , dt, novamente substituição u = cos t, du = -sin t , dt:
8 integral sin t cos t , dt = -8 integral u , du = -8 ( u^22 ) = -4 u^2 = -4 cos^2 t g|0^pi

Passo 8

Agora, avaliamos cada parte nos limites:
  1. 43 cos^3 t g|0^pi = 43 (cos^3 pi - cos^3 0) = 43 [(-1)^3 - (1)^3] = 43 (-1 -1) = 43 (-2) = -83
  2. -2 cos t g|0^pi = -2 (cos pi - cos 0) = -2 [(-1) -1] = -2 (-2) = 4
  3. -4 cos^2 t g|0^pi = -4 (cos^2 pi - cos^2 0) = -4 [(1) -1] = -4 (0) = 0

Passo 9

Somamos os resultados das integrais:
-83 + 4 + 0 = -83 + 123 = 43

Resposta

A integral de linha integralC F cdot d R vale 43.

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