Calcule as integrais de linha
, do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de integrais de linha. A gente precisa calcular a integral de uma função vetorial
ao longo de uma curva
que é descrita parametricamente por
, indo do ponto
até
. Para resolver isso, vamos seguir alguns passos: parametrizar a curva, calcular a derivada dessa parametrização, substituir na função vetorial, fazer o produto escalar e, por fim, integrar em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
que correspondem aos pontos iniciais e finais da curva. A curva é dada por
.
- No ponto
:
- No ponto
:
Mas verificando
:
Então,
.
Então, vamos integrar de
até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
, que é
. Isso é importante porque na integral de linha precisamos do vetor diferencial
, que é justamente
.
Passo 4
Agora, vamos substituir a parametrização
na função vetorial
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de linha:
Note que estamos integrando de
até
.
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, substituímos os limites:
Para
:
Para
:
Agora, calculamos a diferença:
Simplificando:
Resposta
A integral de linha
é igual a
, ou aproximadamente
.