Calcule as integrais de linha
integralC F cdot d R ; F(x, y)=x y i-y^2 j ; C: R(t)=t^2 i+t^3 j, do ponto (1,1) ao ponto (4,-8).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de integrais de linha. A gente precisa calcular a integral de uma função vetorial F(x, y) = x y i - y^2 j ao longo de uma curva C que é descrita parametricamente por R(t) = t^2 i + t^3 j, indo do ponto (1,1) até (4,-8). Para resolver isso, vamos seguir alguns passos: parametrizar a curva, calcular a derivada dessa parametrização, substituir na função vetorial, fazer o produto escalar e, por fim, integrar em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de t que correspondem aos pontos iniciais e finais da curva. A curva é dada por R(t) = t^2 i + t^3 j.
  • No ponto (1,1):
t^2 = 1 Rightarrow t = 1 (já que t = -1 não dá t^3 = 1) áãá
  • No ponto (4,-8):
t^2 = 4 Rightarrow t = 2 ou t = -2
Mas verificando t = -2:
t^3 = (-2)^3 = -8
Então, t = -2.
Então, vamos integrar de t = 1 até t = -2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada da parametrização R(t) em relação a t, que é R'(t). Isso é importante porque na integral de linha precisamos do vetor diferencial dR, que é justamente R'(t) dt.
R(t) = t^2 i + t^3 j Rightarrow R'(t) = ddt(t^2) i + ddt(t^3) j = 2t i + 3t^2 j

Passo 4

Agora, vamos substituir a parametrização R(t) na função vetorial F(x, y):
F(x, y) = x y i - y^2 j Rightarrow F(R(t)) = (t^2 cdot t^3) i - (t^3)^2 j = t^5 i - t^6 j

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(R(t)) cdot R'(t):
F(R(t)) = t^5 i - t^6 j
R'(t) = 2t i + 3t^2 j
F(R(t)) cdot R'(t) = (t^5)(2t) + (-t^6)(3t^2) = 2t^6 - 3t^8

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de linha:
integralC F cdot dR = integralt=1^t=-2 (2t^6 - 3t^8) dt
Note que estamos integrando de t = 1 até t = -2.

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral1^-2 (2t^6 - 3t^8) dt = [ 27t^7 - 39t^9 ]1^-2 = [ 27t^7 - 13t^9 ]1^-2
Agora, substituímos os limites:
Para t = -2:
27(-2)^7 - 13(-2)^9 = 27(-128) - 13(-512) = -2567 + 5123
Para t = 1:
27(1)^7 - 13(1)^9 = 27 - 13
Agora, calculamos a diferença:
( -2567 + 5123 ) - ( 27 - 13 ) = -2567 + 5123 - 27 + 13 = -2587 + 5133
Simplificando:
-2587 + 171 = 171 - 2587 = 11977 - 2587 = 9397 = 134,142857

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dR é igual a 9397, ou aproximadamente 134,14.

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