Considere as expressões dadas abaixo.
(a) Expanda cada expressão.
(b) Fatore a expressão resultante encontrada e compare com a expressão dada.
Cubo de uma diferença.
(x-3)^3

Passo 1

O enunciado pede que a gente trabalhe com o “cubo de uma diferença”, isto é, expanda a expressão (x-3)^3 e depois refatore o polinômio obtido para ver que de fato volta a ser (x-3)^3. O conteúdo envolvido é a aplicação do Teorema Binomial (ou multiplicação sucessiva de binômios) e fatoração de polinômio de grau 3.

Passo 2

Primeiro calculamos (x-3)^2 usando a fórmula do quadrado de uma diferença:
(x-3)^2 = x^2 - 2cdot xcdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9

Passo 3

Agora multiplicamos (x^2 - 6x + 9) por (x-3):
(x^2 - 6x + 9)(x-3) = x^2cdot x + x^2cdot(-3) + (-6x)cdot x + (-6x)cdot(-3) + 9cdot x + 9cdot(-3)
Agrupando termos iguais:
x^3 -3x^2 -6x^2 +18x +9x -27 = x^3 -9x^2 +27x -27
Logo, a expansão é
(x-3)^3 = x^3 - 9x^2 + 27x - 27

Passo 4

Para refatorar o polinômio x^3 - 9x^2 + 27x - 27, dividimos por x-3 (por exemplo, via divisão sintética com 3):
3 mid 1 -9 27 -27
downarrow 3 -18 27
O quociente é x^2 - 6x + 9 e o resto é 0, então
x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x-3),(x^2 - 6x + 9)
Mas já vimos que x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2. Portanto,
x^3 - 9x^2 + 27x - 27 = (x-3),(x-3)^2 = (x-3)^3

Resposta

(a) A expansão é
x^3 - 9x^2 + 27x - 27
(b) Fatorando esse polinômio obtemos
(x-3)^3,
que coincide com a expressão dada.

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